4.1.1 Sistema de Ecuaciones
Diferenciales Lineales
Un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales se puede denotar como:
Aquí xi (t) es una variable en términos de
tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene
todos los términos constantes, como [ai,j].
Dado
que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente
en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el
sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,
dx/
dt = f(t, x, y)
dy/
dt = g(t, x, y)
Un
ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,
dx1/
dt = −4×1 + 2×2
dx2/
dt = 0×1 + −2×2
Con
el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable
dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener
primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el
caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos
para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado.
Este
es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz
constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un
subconjunto de los números complejos.
La
representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A *
x
En
este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como,
A
= 
Y
x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es
representado como,
x(t)T
= 
dx/
dt = 
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