4.1.3 Solución General y Solución
Particular de sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales
En
general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es
llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la
solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular
cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso
que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor
inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los
términos constantes.
El
ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales.
Determina
el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de
ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0)
= x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A está dada como,
Entonces,
el vector propio de la matriz es dado de la forma,
La matriz
tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo
tanto, la solución general del problema se da como,
Por
consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp
+s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1
La
solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el
valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios
repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.
Y la
solución general del problema es,
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