4.2.1 Metodo de Los Operadores

4.2.1 Metodo de Los Operadores

1. Dn (eax f (x)) = eax (D + a)nf (x)

    2. Dn (eax ) = eax an
                  #|R{ze}al

 Demostración  

Veamos 1. Por inducción:

    n = 1 D(eax f (x)) = eaxDf (x) + f (x)aeax = eax(D + a)f (x) Supongamos que se cumple para n = k:
          Dk (eax f (x)) = eax (D + a)k f (x)

y veamos que se cumple para   n = k + 1. En efecto, teniendo en cuenta las hipótesis de inducción para n = 1 y para n = k, se tiene

        Dk+1(eax f (x)) = Dk D(eaxf (x)) = Dk (eax(D + a)f (x))
                    = eax(D + a)k (D + a)f (x) = eax (D + a)k+1f (x) Veamos 2. Por inducción:
            n = 1 D(eax ) = aeax

Supongamos que se cumple para n = k:

                  Dk (eax ) = ak eax

y veamos que se cumple para   n = k + 1. En efecto, teniendo en cuenta las hipótesis de inducción para n = 1 y para n = k, se tiene

                Dk+1(eax ) = Dk D(eax) = Dk (aeax)
                        = a(Dk eax ) = a(ak eax) = ak+1eax

El siguiente Teorema, llamado teorema básico de los operadores, nos permite sacar una exponencial que esta dentro de un operador.

 Teorema Básico   de   Operadores

    1. Si f ∈ C n (I ) y L(D)   es un operador diferencial lineal y a ∈ ℜ, entonces:
      L(D)(eaxf (x)) = eaxL(D + a)f (x)

    2. L(D)eax = L(a)eax

    Demostraci´on   1:

  L(D)(eaxf (x)) = (an (x)Dn + an

1(x)Dn−1   + . . . + a (x)D + a (x)D0 )(eaxf (x)) =
                            − 1 0
  = an (x)Dn (eaxf (x)) + an
1(x)Dn−1(eax f (x)) + . . . + a (x)D(eax f (x)) + a (x)eaxf (x)
                      − 1 0
  = an (x)eax(D + a)n f (x) + an
  + a0 (x)eaxf (x)
1(x)eax(D + a)n−1f (x) + . . . + a1(x)eax (D + a)f (x)
  = eax(an (x)(D   + a)n + an
1 (x)(D   + a)n−1 + . . . + a (x)(D   + a) + a (x))f (x)
                      − 1 0
  = eaxL(D + a)f (x)