Ecuaciones Diferenciales.: mayo 2011

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4 Radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$

Radio de convergencia finito

La función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia $x - x 0 = x - 0 = x$ , tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al $x 0 = 0$ es menor que $r = 1$ , por ejemplo el $x = 0.25$ , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el $x = 2$ , los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro $x 0 = 3$ tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función $1 / (1 - x)$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: $| 0 - 1 | = 1$ y $| 3 - 1 | = 2$ . Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función $e x$ puede desarrollarse en series de potencia de $x - 0 = x$ , de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real $x$ por eso el radio de convergencia será infinito.

viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

En una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor

4.6 Representación de funciones por serie de Taylor

lunes, 23 de mayo de 2011

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

· Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0. Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor la cual satisface :

F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0) Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0) (x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x − x0)n

· Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1Þ existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . . 1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x) 1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

· Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple:

x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano, entonces se plantea la cuestión de la precisión de la aproximación. Si se especifica la precisión entonces la cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su polinomio de Taylor tiene validez local, es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede evaluarse si una función cumple los requisitos del teorema de Taylor en un intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que, en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)

Descripción: Enginyeria informàtica. II26: Processadors de Llenguatge

Autor(es): Vilar Torres, Juan Miguel -